Área de Investigación en Pedagogía Universitaria

ÁREA DE INVESTIGACIÓN EN PEDAGOGÍA UNIVERSITARIA

Curriculum presente, ciencia ausente

En el marco de la convocatoria a este encuentro dos situaciones recientes llamaron mi atención y me gustaría compartirlos con ustedes.

En el Palacio de los Descubrimientos de París hay varias salas dedicadas a Física, Química y Biología con aparatos y posibilidades de realizar experiencias prácticas. Para Matemática, un pequeño salón, poco concurrido por cierto, donde se presenta al número Pi y un hall con opiniones breves de científicos reconocidos a lo largo de la historia, sobre qué es la Matemática, para qué sirve... Algo así como un marketing de la Matemática. Como si existiera la necesidad de justificar su razón de ser.

Algo que no aparece como necesario para las otras ciencias, que tienen un atractivo particular. Reflexionando a partir de esto, sobre experiencias similares en otras exposiciones o museos de ciencias que he visitado, me di cuenta de que en general no hay un espacio para la Matemática, aunque esté presente sin duda, detrás de la modelación de los atractivos experimentos de la Física, o de los aparatos de Bioingeniería. La Matemática tiene que dar explicación de ser.

La segunda situación a la que hice referencia se dio en Coimbra; Portugal, en la visita a una de las primeras universidades (1290). La Facultad de Matemática ocupa un gran espacio, Física y Química comparten uno y Biología otro más pequeño. Pero dentro del campus hay una zona con tres edificios dedicados a museos de ciencias. La guía, estudiante de la Universidad, nos explicaba que el primero corresponde al de Física, el segundo al de Química, y cuando iba a señalar al tercero, emocionada me adelanté y le dije: “Es el de Matemática.” “No”, me contestó, “Es el de Biología, ya le dije que son museos de ciencias...” Sin duda el título de la convocatoria no se refiere a este tipo de ausencia, pero el hecho es significativo.

Vuelvo entonces al discurso que he elaborado a lo largo de años de estudiar matemática, de reflexionar sobre mi propia práctica docente en distintos espacios, pero fundamentalmente de la observación de mi propia experiencia como estudiante.

Desde lugares distintos tomo opiniones y experiencias de investigaciones para mirar a la enseñanza de la Matemática y validar mis propias propuestas. ¿Cuál tomar para este encuentro? Para ello esperé a conocer en qué contexto se desarrollaría y dada la preponderancia de docentes de enseñanza media es que orienté la ponencia.

Es conocido el objeto de manifestaciones de poca simpatía que recibe la Matemática de parte de las personas en general y especialmente de los alumnos de educación media. El tema es tratado desde opiniones particulares de profesores, de especialistas y también es analizado en investigaciones sobre la enseñanza y el aprendizaje de esta disciplina.

Hasta los medios de comunicación hoy se han detenido en el tema de su enseñanza: “La enseñanza de las matemáticas es uno de los puntos más débiles de nuestro sistema educativo, lo cual compromete la inserción del país en un orden mundial en el cual el desarrollo científico-técnico es clave. A pesar de que en general la educación parece desalentar las vocaciones matemáticas...”“ (Editorial: Clarín 29/6/08).

Jerome Bruner, psicólogo, referente del siglo XX en teorías de los aprendizajes (1997 “La educación puerta de la cultura”) manifiesta de un modo categórico y muy duro, que no es un secreto que los niños en la escuela de hoy encuentran a la Matemática “inhumana”, “insensible” y “repelente”. (p.61).Por otro lado, desde la sorpresa que ha resultado en nuestro medio por tratarse de libros de divulgación matemática, el éxito editorial de la saga “Matemática... ¿estás ahí?” (2005, 2006, 2007 Paenza, A.), se puede preguntar ¿Qué pasa con la Matemática? Como una opinión personal el Doctor en Matemática Paenza nos culpa a los profesores, entre los que se incluye, por lo que llama la mala prensa que esta disciplina tiene en la sociedad.

A los presentes Profesores de Ciencias de la Educación les hablaría desde el lugar de Fernando Pessoa, escritor portugués (1888-1935), quién dijo que la Matemática es tan bella como la Venus de Milo, sólo hay que entenderla. Hasta acá las tribulaciones que me despertó este seminario.

Ahora una mirada del fenómeno desde la Didáctica. En el último tercio del siglo XX, grupos de investigación europeos en matemática se han dedicado a trabajar sobre su didáctica, desde la preocupación detectada en la dificultad que esta disciplina manifiesta en el estudiantado. Han tenido en este sentido un protagonismo especial con autores franceses como Y. Chevallard, y G. Brousseau, del grupo IREM (Institutos de Investigación de Enseñanza de la Matemática) de Francia que trabajan en el tema desde 1970. Simultáneamente también en Holanda, se ha desarrollado la corriente Educación Matemática Realista dirigida con el Dr. Hans Freudenthal y desde la década del 80 otro grupo, “Theory of Mathematics Education”, trabaja sobre estos temas bajo el liderazgo del alemán H. G. Steiner.

Estos investigadores insisten en que la Matemática tiene una lógica inmanente propia, y que la Didáctica de la Matemática es una rama de la Matemática y no de la Didáctica, ni de las Ciencias de la Educación.

Estas investigaciones sobre Didáctica de la Matemática surgen mientras la Didáctica General trata de ubicarse como ciencia, y entran en una controversia aún no resuelta. (1999, Camilloni, Davini, “Corrientes didácticas contemporáneas”).

De lo expuesto se puede destacar la preocupación y necesidad que existe desde la Matemática de contar con una Didáctica a medida, pero también desde la Didáctica General de ocupar ese espacio. Hay ruido, hay movimiento, hay divergencia de criterios, hay controversia, hay teorías coexistentes. ¿Esto lleva a inferir que hay problemas no resueltos? ¿Hay problema con la enseñanza de la Matemática?

Los profesores de Matemática deberíamos aceptar el reto. ¿Pero cuál es nuestra formación? ¿Podemos adoptar una actitud profesional ante la situación o somos parte del mismo problema? ¿No es éste un tema a considerar por los formadores de futuros formadores? ¿No deberíamos incorporar a la agenda un espacio de reflexión para tratarlo?

Hablamos de teoría cognitiva del conocimiento, del constructivismo, cuya idea central es que las personas construyen sistemas de significados para comprender al mundo y a sus experiencias. ¿Cómo se explica que más de 40 años de desarrollo de la teoría cognitiva del conocimiento, con suficientes investigaciones y publicaciones sobre el tema, aún encontramos un alto porcentaje de aulas en las que, exagerando, parece que se dijera “Hoy veremos el constructivismo, saquen la carpeta que les dicto...”.? Cuando además DICTAR en la era de la fotocopia e Internet es un anacronismo total. Esta pregunta la dirijo a la gente de Ciencias de la Educación.

Edith Litwin de la UBA en su nueva agenda para la didáctica recupera para sus investigaciones la definición de buena enseñanza de Fenstermacher (1989, “Tres aspectos de la filosofía de la investigación sobre la enseñanza”) “Buena enseñanza como sinónimo de ética y epistemológicamente buena.”. Sin dudar de las convicciones éticas y epistemológicas con que se desarrolla cada práctica docente, se pueden mirar algunas estrategias de enseñanza tradicionales aún vigentes como un problema emergente y analizarlo desde la formación de futuros formadores. ¿No será éste el espacio donde la falta de prácticas que lleven a la comprensión de la Matemática como Ciencia, la encorsete en un currículo contenedor? ¿Y que luego, con efecto multiplicador se lleve a las aulas de enseñanza media? Como la reproducción de modelos. (1992, Jackson, P, “La vida en las aulas”)

¿Cómo acercar la disciplina a la ciencia en la escuela media? Obviamente no para crear ciencia, sólo para comprenderla. Desde este lugar voy a desarrollar este encuentro en dos ejes, el del problema como estrategia de enseñanza de la Matemática en la enseñanza media y el del trabajo en grupo en esas clases.

Hasta ahora no he agregado nada nuevo.

Desde la década del 80 hay investigaciones que conducen al consenso sobre enseñar ciencia a partir de problemas, hay mucha bibliografía y trabajos que fundamentan su utilidad. Inclusive es interesante la enseñanza a partir de proyectos, que tiene su origen en 1921 con Kilpatrick y hoy la podemos actualizar con Wassermann en la lectura de “El estudio de casos como método de enseñanza” (1999).

Miremos los problemas, pero analizados desde la ingenuidad con que se toman los problemas de la vida diaria en el aula. Quiero compartir con Ustedes el siguiente párrafo extraído del libro “Mi florido pensil” de Andrés Sopeña, escritor español que relata su infancia en la España franquista de posguerra, cuenta una anécdota de su niñez que explicaría la base de mi planteo.

“Resultado: Pues ningún caramelo, y Pilarín es tonta.” Eso o algo parecido, fue lo que puse en la libreta. Y me castigaron. Dos palmetazos y sin ir a comer a mi casa. Por culpa de la tal Pilarín, la niña ésa. Que yo pensé que lo mismo me había equivocado, pero no, repasé con los dedos y no. A ver: 2 caramelos que dio a su hermanita, más un caramelo que dio a su primito, suman 3 caramelos. Y si tenía 3 caramelos y dio 3 caramelos, pues no le quedó ningún caramelo a Pilarín; y era más tonta que Abundio... Porque si hubiera dado uno a cada uno le habría quedado uno a ella... Pero el problema no decía nada de eso, que a lo mejor es que faltaban datos”

Robert Garret de la Universidad de Bristol (1995 “Resolver problemas en la enseñanza de las ciencias”) define los problemas auténticos o genuinos, como aquéllos a los que se le ha aportado originalidad y creatividad como un valor agregado. Esto se enmarca en lo que define como zona de interés óptimo del alumno y si además tenemos en cuenta la zona de desarrollo próximo vigostkyana, (Vigostky diferencia entre nivel de conocimiento real para resolver un problema con autonomía, y nivel potencial con ayuda de un tutor), queda determinado el contexto en que la presentación de problemas tenga lugar. En este artículo se dan diferentes acepciones del término problema. Garret los clasifica en problema–puzzle cerrado o abierto y los diferencia de los auténticos problemas, todo ello aplicado a la enseñanza de las Ciencias, a la vez que reflexiona sobre las ventajas e inconvenientes de los diferentes planteos.

Modelar matemáticamente una situación real resulta interesante en la medida que el tema lo sea para el involucrado o que su problematización atraiga su interés y no la transforme en una situación pueril o trivial.

Segal y Giuliani expresan en “Modelización matemática en el aula” (2008) que “La tarea de inventar problemas no nos resultó sencilla. Para que un problema genere actividad matemática debe presentar cierta complejidad, admitir distintos procedimientos y dar lugar a la toma de decisiones. No cualquier enunciado con una pregunta reúne estas condiciones” (p.8).

Bruner le asigna al problema genuino un papel crucial en el proceso de aprendizaje, ya que permite que se produzca un descubrimiento autogenerado. (1997, “La educación...” p.58)

Tomo algunos ejemplos para reflexionar sobre la ingenuidad con que a veces se presenta a los alumnos problemas de la vida cotidiana:

Un profesor se queja del poco interés que presentan los alumnos adultos a la hora de aprender, ni siquiera se interesan ante un problema cotidiano como el siguiente: “Si se sale de casa con tanto dinero, se realizan compras en el supermercado, y en el camino de regreso se compra una revista, Sabiendo cuál es el vuelto ¿Cuánto costó al revista?” ... ¿? Con sólo mirar la tapa de la misma esta pregunta se responde sin necesitad de recurrir a la Matemática. ¿Podemos cuestionar la falta de interés del alumno? ¿A un grupo de estudiantes adultos no le resultará de más interés decidir en un supermercado, o llevando el supermercado al aula, sobre la mejor relación precio-contenido de un producto?¿Comprender en qué consistía la discusión generada por el tema reciente de las retenciones, sobre si el porcentaje se toma sobre el valor FOB o FAS? En general proveerlos de herramientas para la toma de decisiones en la vida diaria o la comprensión del entorno

¿A alguien lo ha desvelado alguna vez saber cuánto grafito tiene un lápiz? ¿Es un problema de la vida diaria, porque hablamos de un lápiz? Problema que no puede interesar al alumno que está estudiando Geometría, y difícilmente a quién no lo haga, porque bien podrá desenvolverse en esta vida sin saber esto. Tampoco lo necesitará en caso de instalar en el futuro una fábrica de lápices, ya que para el cálculo de costo de fabricación es otro el camino que se sigue.

¿El desafío que genera un juego, no marca el interés que despierta especialmente en la niñez, en la adolescencia y aún en la adultez? ¿Por qué 22 jugadores en la cancha de foot ball detrás de una pelota, si con darle una a cada uno se resuelve la contienda? ¿No sería mejor pensar en problemas de Geometría, o de otros temas de Matemática del tipo de los de la Olimpíada Matemática Argentina? (El encuentro internacional del 2012 se realizará en nuestro país). Klimovsky y Boido en “Desventuras del conocimiento matemático” (2005), cuentan que en la historia de la Geometría se detecta que un 80% de su desarrollo se logró por el placer de pensar y no por su utilidad. Es preocupante, como señala Itzcovich (2005, “Iniciación al estudio didáctico de la Geometría”), que la Geometría ha ido perdiendo lugar y sentido en el currículo escolar, siendo uno de los espacios ideales para disfrutar de la Matemática.

La Trigonometría también brinda ejemplos ¿Quién de nosotros no tuvo que responder alguna vez a qué distancia de la pared se apoya una escalera...? Pero...¿A cuántos de nosotros nos contaron algo acerca de Eratóstenes? Quién fuera director de la Biblioteca de Alejandría y que en el siglo III AC ya había calculado los 40.000km de circunferencia máxima de la Tierra. Lo logró a partir de una observación previa que otros ignoraron, sobre palos, sombras, reflejos en pozos y posición del sol, a lo que Eratóstenes agregó: ojos, pies y cerebro, pero fundamentalmente interés e imaginación. Llevar la narración a la clase de matemática, puede ser una estrategia interesante, (Bruner, Perkins, Jackson).

¿Cómo puede esto ser cierto?



¿Y las ecuaciones? Santaló, algebrista argentino de referencia, en 1966 decía que hay que fomentar el cálculo aproximado ya que los problemas que la Matemática puede resolver de manera exacta son pocos. Considerar la incógnita de una ecuación como “[...] una variable y no como un número desconocido a develar, abre el camino a la búsqueda de soluciones o valores posibles, exactos o aproximados[...] (2008, Giuliani, Segal) (p-13). Las autoras proponen como alternativa a trabajar sólo las ecuaciones que se resuelven por fórmulas o por “despeje directo”, otras que requieran de la recuperación de conceptos ya vistos o del ingenio del alumno para encontrar soluciones por diferentes caminos. Las autoras destacan “No hay fórmula para todo” (p.80) y se plantean interesantes preguntas sobre este punto. “¿Por qué la escuela actual fomenta la idea de que para obtener el resultado de cualquier problema hay que aplicar fórmulas bien determinadas? ¿Por qué sólo se resuelven ecuaciones para las cuáles se conocen fórmulas?” (p. 120). Interesante que esto llegue al aula y también al aula de los futuros formadores.

Otra vez la narración... ¿Por qué no hablar de los 300 años que pasaron entre el planteo de uno de los problemas de Fermat y su resolución en 1994 por Miles?

Internet, en este grupo etario, es el espacio de desafío y en el que mayor número de horas invierten. ¿Por qué no utilizar el residuo cognitivo útil de jugar en la red y llevarlo a las clases? (2005 Molina, I)

Todo lo planteado intenta ser un problema genuino, presentado al profesorado como comunidad. Ardua tarea que requiere de profesionales. “Ocurre, que en contraste con planos de libertad y responsabilidad propios de otros profesionales, en los enseñantes, su oficio está a medio camino entre un oficio de ejecutante y una profesión en el sentido estricto del término. No son juzgados por la eficacia de su acción pedagógica sino por su conformidad a los estándares definidos por el sistema educativo[...]” Saleme, M. (Referencia de Edelstein, G. 2004 “Problematizar el qué y el cómo en la relación de los docentes con el conocimiento. Un desafío prioritario en la formación de docentes.” UNL) ( p57)

José Ferreirós presenta un planteo duro (2001, “El valor cultural de la matemática”) “[...] la penosa escasez de profesores estimulantes” (p. 95). Robert Garret, (1995) trata el tema de los problemas repetitivos y rutinarios que el profesorado presenta a sus alumnos. Esto es lo que llamaríamos ejercicios, término más relacionado con un trabajo muscular repetitivo, por lo que coincido con Edith Litwin cuando marca la diferencia de idea detrás de utilizar el término: actividades. Gimeno Sacristán (1997 “Comprender...”) destaca la importancia de aprender por el interés que despierta el contenido y la actividad como tal.

Refiriéndose a la formación del profesorado Edelstein señala que “[...]renunciar a sobrecargar el currículo para dejar tiempo y espacio a un proceso clínico de formación, a la resolución de problemas [..] se evitará cubrirlo todo, para forjar esquemas generales de reflexión y decisión antes que proveer a los futuros profesionales de todas las respuestas posibles.” Saleme, M. (Referencia de Edelstein, G. 2004” Problematizar...”.UNL).( p59)

Otro ejemplo: “Hoy vemos factorización de polinomios 1º caso... 10... 20 ejercicios... ¿Se entendió? Bien... pasemos al 2º caso... “ . Ídem con criterios de congruencia de triángulos, o especies de discontinuidades de funciones.

Resulta interesante mirar una anécdota atribuida a un reconocido matemático argentino, docente de la UBA. Cuentan que un día su hija le pide que la ayude a factorizar un polinomio, cuando le devuelve la factorización, ella le pregunta qué caso aplicó, a lo que el padre responde que no sabe, la niña entonces pregunta: ”¿No sos Matemático?”

Me pregunto ¿Qué tal si presentamos el siguiente desafío? “Acá tienen un polinomio, intenten devolver una multiplicación de polinomios”.

Veo en esto un problema potencial. Si un alumno elige como carrera Profesorado en Matemática porque, como he registrado en encuestas a alumnos del primer año, esta Matemática da seguridad, contiene. ¿No se está perdiendo para el profesorado gente creativa e imaginativa? Pensando en la Sra. Heinze de Jackson (1992, “La vida en las aulas”) ¿No se está entrando a la carrera con el rodete puesto? (Esto como un estereotipo clásico, no una connotación de género). Es de desear que no se egrese con él.

Marco el término devolución porque es el nexo que tomo para llegar al planteo del segundo eje de análisis propuesto, el del valor de las obras compartidas. Acá convergen los dos temas planteados: la presentación de problemas genuinos y el trabajo en grupo en la clase de Matemática, como una forma de relacionar la disciplina, como cuerpo de conocimientos pautados por el currículo, con la ciencia que la sustenta.

“Las obras y las obras- en- preparación crean formas compartidas negociables de pensar” (Bruner, “La educación...,” p.41).

Quién mejor expresa este planteo es Balacheff en “Devolución de un problema y construcción de una conjetura” (IREM 1987) cuando escribe que existe una “[...] negociación social que recobra los procesos de devolución [...] en los cuales el profesor juega un rol central.” (p.44)

En muchas aulas se toma al trabajo en grupo desde el lugar de la asignación de un tema de investigación. En general en estos casos la tarea vista desde el rol de alumno se reduce a repartir la tarea, y en los tiempos de Internet, muchas veces sólo a imprimir...

En cambio desde la presentación de un problema atrapante, la verdadera potencialidad y riqueza del trabajo en grupo sería la de favorecer la discusión entre los alumnos, la de resolver entre todos, la de recuperar conocimientos o buscar nuevos, pero con el aporte del grupo.

Este espacio será el ámbito donde, al poner en común las reflexiones y producciones de todos los miembros, se puedan examinar cuestiones que tal vez no fueron tenidas en cuenta hasta ese momento. Donde los eventuales errores puedan ser aprovechados como estrategia de enseñanza. En general el error es visto en el profesor como algo inadmisible y en el alumno como algo para castigar. (Astolfi, J.P. 1999 “El error, un medio para enseñar”)

La intervención del docente es muy importante tanto en la formulación de problemas como en la guía de la discusión. En esta última actividad para ayudar a los alumnos a realizar un análisis más profundo de los diversos tópicos e inducirlos a esforzarse para comprender los temas abordados. Se trata de tener la capacidad para favorecer el aprendizaje de los alumnos y no convertirse en mero evaluador del saber adquirido. Y aún la evaluación puede ser vista como: “La evaluación no es ni puede ser un apéndice de la enseñanza ni del aprendizaje, es parte de la enseñanza y del aprendizaje [...]” (Celman,S. citando a Álvarez Méndez, “La evaluación de...” 1998/2005).(p.37)

“Un profesor que no enseña más que lo que le enseñaron y tal como lo aprendió no toca la raíz problemática de su campo. Si estuviera preparado para hacerse preguntas en lugar de perseguir respuestas, podría interpelar al objeto de conocimiento y al conocimiento mismo en tanto éste es objeto de conocimiento, sin abandonar por ello la tarea específica, ni la condición docente.” Saleme, M. (Referencia de Edelstein, G. 2004 “Problematizar ...” UNL).( p57)

¿Cómo lograr prácticas que entren a Las meninas de Velazquez y salgan de la de Picasso? ¿Tal vez atendiendo al currículum de la formación de los profesores? Nosotros como Profesores no creamos matemática, no es nuestra función, esa es función que se inicia en las Licenciaturas en Matemática y se continúa con estudios de postgrado, ¿No obstante, comprendiendo a la ciencia que la sustenta, no desarrollaríamos mejor la disciplina?

Como dice Howard Gardner al tratar su teoría de las inteligencias múltiples, (2003/2008), no sólo la escuela del futuro debería centrarse en el individuo y ayudarle a desarrollar todas sus inteligencias, sino que cada persona, (¿Cada profesor?), tiene su propia manera de combinarlas y utilizarlas, aunque quizás no lo reconozca aún.

Con más interrogantes que respuestas, esto no es un cierre, sino la propuesta de una apertura al diálogo entre colegas de Matemática y de Ciencias de la Educación. Con más dudas que certezas sobre el tema, el espacio de discusión queda abierto.

Prof. Silvia Estela Lupi Lic. en Matemática (UNL) silvialupi@ciudad.com.ar